peluang

PELUANG

A.    Aturan Perkalian

Misalkan pilihan pertama yang ada dianggap sebagai suatu tempat. Jika terdapat n tempat dengan ketentuan :

1.    Banyak cara untuk mengisi tempat pertama adalah c₁ ;

2.    Banyak cara untuk mengisi tempat kedua setelah tempat pertama dipenuhi c₂ ;

3.    Banyak cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat pertama dam kedua dipenuhi c_{3 ;}

Dan seterusnya hingga banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat pertama, kedua, ketiga, ..., ke-( n-1 ) dipenuhi adalah c_n.

Banyak cara untuk mengisi n buah tempat secara keseluruhan dapat dirumuskan dengan:

        c1 x c₂ x c₃ x  ... x c_n

Aturan seperti ini disebut aturan perkalian atau aturan pengisian tempat yang tersedia (filling slot):

Contoh :

Disediakan angka-angka 2, 3, 4, 5, dan 6. Tentukan :

a.    Banyak angka ratusan yang dapat dibentuk.

b.    Banyak angka ratusan ganjil yang dapat dibentuk.

c.    Banyak angka ratusan yang lebih besar dari 500 yang dapat dibentuk.

Pembahasan :

a.    Angka ratusan terdiri atas 3 angka

Ratusan            Puluhan             Satuan 5 cara              5 cara                5 cara

Jadi, banyak angka ratusan yang dapat dibentuk adalah 5 × 5 × 5 = 125 angka.

b.    Angka ratusan ganjil yang mungkin terbentuk dari angka-angka itu satuannya adalah 3 dan 5.

Ratusan            Puluhan             Satuan 5 cara              5 cara                2 cara

Jadi, banyak angka ratusan ganjil yang dapat dibentuk adalah 5 × 5 × 2 = 50 angka.

c.    Angka yang lebih besar dari 500 mempunyai angka ratusan 5 dan 6.

Ratusan            Puluhan             Satuan 2 cara              5 cara                2 cara

Jadi, banyak angka ratusan yang lebih besar dari 300 yang dapat dibentuk adalah 2 × 5 × 5 = 50 angka.

B.    Permutasi

Permuatasi adalah susunan suatu objek-objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Sebelum kita mempelajari permutasi lebih baiknya kita mulai dengan konsep faktorial.

1.    Faktorial dari Bilangan Asli

Perhatikan perkalian berikut.

3 × 2 × 1 = 3!

4 × 3 × 2 × 1 = 4!

5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5!

Dan seterusnya. Tanda “!” adalah notasi faktorial. Jika n bilangan asli, n faktorial (ditulis n!). Faktorial dari suatu bilangan asli didefinisikan sebagai berikut. 

n! = n x (n-1) x (n-2) x (nx3) x ... x 2 x 2 x 1

Dari definisi di atas, dapat diperoleh

                    n! = n (n-1)

Nilai 1! = 1. Oleh karena itu, untuk n = 1, diperoleh

1! = 1(1-1)!

1  = 0!

                     0! =1 

2.    Permutasi dari Unsur-unsur yang Berbeda

Misalkan dari tiga buah angka 1, 2, dan 3 akan disusun suatu bilangan yang terdiri atas tiga angka dengan bilangan-bilangan itu tidak mempunyai angka yang sama. Susunan yang dapat dibentuk adalah :

123             132             213             231             312             321

Banyak cara untuk membuat susunan seperti itu adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara.

Susunan yang diperoleh seperti di atas disebut permutasi 3 unsur yang diambil dari 3 unsur yang tersedia.

Berdasarkan deskripsi di atas, permutasi dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi : 
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur itu berbeda) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan ( r ≤ n ).

Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dilambangkan dengan notasi :

  

Jika r = n maka banyak permutasi n unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (biasa disingkat : permutasi n unsur) dilambangkan dengan notasi :

Contoh : 

Berapa banyak permutasi dari 4 huruf A, B, C, dan D?

Pembahasan :

Sebuah contoh permutasi atau susunan 4 huruf dalam suatu urutan adalah

 huruf pertama         huruf kedua         huruf ketiga         huruf keempat

B                            D                         A                          C

·      Huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu huruf A, B, C, atau D.

·      Huruf kedua dapat dipilih dengan 3 cara. Misalnya, jika huruf pertama dipilih B maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah D, A, atau C.

·     Huruf ketiga dapat dipilih dengan 2 cara. Misalnya, jika huruf pertama dipilih B dan huruf kedua dipilih D, maka huruf ketiga yang dapat dipilih adalah  A, atau C.

·     Huruf keempat dapat dipilih dengan 1 cara. Misalnya, jika huruf pertama dipilih B, huruf kedua dipilih D, dan huruf ketiga dipilih  A, maka huruf keempat tinggal 1 pilihan yaitu huruf C.

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan yang mungkin itu seluruhnya adalah :

Berdasarkan contoh diatas, terlihat bahwa permutasi 4 unsur adalah

Secara umum dapat disimpulkan bahwa :

Banyaknya permutasi n unsur ditentukan dengan aturan :

Contoh :

Berapakah banyak permutasi 2 huruf yang diambil dari huruf-huruf A, B, C, D, dan E ?

Pembahasan :

Sebuah contoh permutasi atau susunan 2 huruf yang diambil dari huruf-huruf A, B, C, D, dan E adalah :

huruf pertama              huruf kedua

D                                 E

·     Huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dengan 5 cara, yaitu huruf A, atau B, atau C, atau D, atau E.

·      Huruf kedua dapat dipilih dengan $ cara. Misalnya jika huruf pertama dipilih D, maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah huruf A, B, C, atau E.

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan yang mungkin itu seluruhnya adalah :

Berdasarkan deskripsi diatas, terlihat bahwa banyak permutasi 2 unsur yang diambil dari 5 unsur yang tersedia adalah :

Secara umum dapat disimpulkan bahwa :

Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia ditentukan dengan aturan :

Contoh :

Hitung tiap permutasi berikut :

a.     

b.    

3.    Permutasi Memuat Beberapa Unsur yang Sama

Permutasi n unsur, dengan k unsur sama dan n unsur itu ( n ≥ k ) adalah 

          

Aturan ini dapat diperluas untuk permutasi n unsur, dengan k₁ unsur sama, k₂ unsur sama, ... , dan k_n unsur sama dari n unsur ( k₁ + k₂ + ... + k₁ ≤n ), yaitu

            

Contoh :

Tentukan banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari unsur huruf-huruf pembentukTIGA SERANGKAI.

Pembahasan :

Perhatikan kata TIGA SERANGKAI.

Unsur yang tersedia n = 13.

Unsur yang sama adalah

a.       k1 = 2, yaitu huruf I ada 2.

b.      k2 = 2, yaitu huruf G ada 2.

c.       k3 = 3, yaitu huruf A ada 3.

 Jadi, banyak susunan yang dimaksud adalah :

4.    Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar. Misalkan terdapat n unsur yang berbeda disusun melingkar. Banyak susunan dapat ditentukan dengan permutasi siklis dengan aturan

Contoh :

Misalkan ada 4 orang A (ani), B (Boy), C (Carli), dan D (Doni) menempati empat buah kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyak susunan yang dapat terjadi ?

Pembahasan :

Banyak unsur n = 4  , maka banyak permutasi siklis dari 4 unsur itu seluruhnya ada

P_siklis =  (4 – 1)! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 macam 
Jadi, banyaknya susunan yang dapat terjadi ada 6 macam. 

LATIHAN SOAL

1.    Banyak bilangan yang terdiri atas 4 angka yang dapat disusun dari angka-angka 2, 4, 5, dan 6 dengan syarat bilangan yang disusun genap adalah ....

2.    Di dalam sebuah kelas, akan dibentuk kepengurusan yang terdiri atas ketua, sekretaris, dan bendahara kelas. Berapa banyak cara 5 calon yang akan memperebutkan ketiga posisi tersebut adalah ....

3.    Sebanyak 8 orang mengadakan pertemuan. Mereka duduk menghadap sebuah meja bundar. Berapa banyak cara mereka menempati kursi yang disusun melingkar adalah ....

4.    Berapa banyak susunan huruf yang dapat disusun dari huruf-huruf berikut ini :

a.       J, A, K, A, R, T, dan A.

b.      T, R, I, G, O, N, O, M, E, T, R, dan I.

MATERI I : PERMUTASI DAN KOMBINASI

Permutasi dan kombinasi merupakan suatu alat analisis yang mempunyai peranan yang sangat penting, khususnya dalam menentukan banyaknya alternatif yang dapat dimungkinkan dalam pengambilan keputusan. Pertanyaan tentang berapa macam cara suatu peristiwa, dapat terjadi seringkali dihadapi dalam penghitungan bermacam kemungkinan untuk menentukan alternatif pemilihan.

Dalam membahas Permutasi dan Kombinasi, yang perlu dipahami adalah pengertian Faktorial (disimbolkan dengan tanda seru atau !). Nilai suatu bilangan yang difaktorialkan diformulasikan : n! = 1 x 2 x 3 x 4 x … x n. (khusus untuk 0! = 1). Sebagai contoh : 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

PERMUTASI

Permutasi merupakan penyusunan obyek-obyek yang ada ke dalam suatu urutan tertentu. Hal yang perlu diperhatikan dalam permutasi adalah bahwa obyek-obyek yang ada harus dapat “dibedakan” antara yang satu dengan yang lain. Permutasi dapat dirumuskan : nPx = (n!)/(n-x)! ; dimana n = banyaknya seluruh obyek, dan x = banyaknya obyek yang dipermutasikan.

Nilai n dan x masing-masing harus lebih besar dari nol. Jika nilai x < n disebut dengan Permutasi Sebagian Obyek. Jika nilai x = n, maka disebut Permutasi Seluruh Obyek, sehingga rumus tersebut dapat disederhanakan menjadi : nPx = n! .
Contoh :
Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?
Jawab : nPx = n! ; 3P3 = 3! = 1 x 2 x 3 = 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX) .
Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?
Jawab : nPx = (n!)/(n-x)! ; 4P2 = (4!)/(4-2)! = 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .


KOMBINASI
Perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi terletak pada masalah “urutan atau kedudukan” penyusunan dari sekelompok obyek. Dalam permutasi masalah urutan atau kedudukan menjadi sangat penting, sedangkan dalam kombinasi tidak mementingkan urutan atau kedudukan dari sekelompok obyek tersebut.
Pada permutasi urutan obyek XYZ; XZY; ZYX adalah berbeda, tetapi untuk kombinasi urutan tersebut dianggap sama. Dengan demikian kombinasi merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan dengan tidak memperhatikan urutan dari obyek tersebut. Untuk menghitung banyaknya hasil kombinasi dari obyek dapat diformulasikan : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; dimana n : banyaknya seluruh obyek yang ada, dan x : banyaknya obyek yang dikombinasikan.
Nilai x < n dan jika x = n formulasi tersebut menjadi nCn = 1.
Contoh :
Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.
Jawab : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; 4C3 = (4!)/(3!(4-3)!) = 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH).
Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.
Jawab : 10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan


KOMBINASI
Kombinasi dari kombinasi merupakan perkalian perkalian antara banyaknya kombinasi suatu kumpulan obyek dengan banyaknya kombinasi dari obyek lainnya. Formulasi untuk mencari kombinasi dari kombinasi adalah sebagai berikut : nCx . mCy = (n!)/(x!(n-x)!) . (m!)/(y!(m-y)!).
Contoh :
Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri  dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.
Jawab : 3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara, yaitu : L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3