barisan dan deret

Deret Bilangan Aritmatika Dan Geometri Dalam Matematika

Deret Bilangan | Deret bilangan adalah salah satu cabang ilmu dalam matematika yang masih ada hubungannya dengan barisan bilangan , yang sebelunya telah di bahas . Deret bilangan juga terdiri dari dua macam , seperti halnya barisan bilangan yaitu deret bilangan aritmatika dan deret bilangan geometri . Langkah awal untuk mempelajari deret bilangan aritmatika dan geometri adalah kita harus memahami terlebih dahulu mengenai pengertian deret bilangan itu sendiri .Mari kita pelajari bersama

Deret Bilangan Aritmatika Dan geometri

A. Pengertian Dan Macam Deret Bilangan 

Deret bilangan yaitu jumlah dari suku – suku dari suatu barisan .

Jika U1 , U2 , U3 , U4 , . . . .Disebut dengan barisan bilangan , maka bentuk deret bilangan adalah U1 + U2 + U3 +…

advertisements

Contoh :

3 + 7 + 11 + 15 + . . .

Macam – macam deret bilangan yaitu :

• Deret bilangan aritmatika
• Deret bilangan geometri

B. Definisi Deret bilangan aritmatika dan deret bilangan geometri 

1. Deret Bilangan Aritmatika 

Deret aritmatika , yaitu suatu jumlah dari suku – suku barisan bilangan aritmatika .

Jika a , a+b , a+2b , a+3b , a+4b , . . . .a+(n-1)b adalah barisan bilangan aritmatika maka bentuk dari deret aritmatika adalah a+ (a+b) + ( a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + . . . .

Rumus Jumlah deret aritmatika suku ke n  adalah :

Sn = 1/2  n ( a+ Un )  atau Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ] 

Keterangan :

Sn = jumlah suku ke n

n = Banyaknya suku

b = rasio atau beda

Contoh soal :

1.      4 + 9 + 14 + 19 + . . .

Dari deret bilangan diatas , tentukan S30 = . . ?

Penyelesaian :

Diketahui : a = 4 , b = 5

Un = a + ( n – 1 ) b

U30 = 4 + ( 30 -1 ) 5

= 4 + 29.5

= 4 + 145

= 149

maka , S30 adalah :

Cara 1 

Sn = 1/2  n ( a+ Un )

S30 = 1/2 . 30 ( 4 + 149 )

= 15 x 153

= 2295

Cara 2

Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]

S30 = 1/2 30 [ 2.4 + ( 30 – 1 ) 5 ]

= 15 [ 8 + 29 .5 ]

= 15 ( 8 + 145 )

= 15 ( 153 )

= 2295

2. Tentukan nilai n dan sn dari deret aritmatika dibawah ini :

3 + 7 + 11 + 15 + . . .+ 199

Penyelesaian :

Diketahui : a = 3 , b = 4

Ditanya :

a.) n = . . .

b.) Sn = . . .

Jawab :

a.) Un = a + ( n -1 ) b

199 = 3 + ( n – 1 ) 4

199 = 3 + 4n -4

199 = -1 + 4n

200 = 4n

50 = n

b.) cara 1

Sn = 1/2  n ( a+ Un )

S50 = 1/2 .50 ( 3 + 199 )

= 25 ( 202 )

= 5050

Cara 2

Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]

S50 = 1/2.50 [ 2.3 + ( 50 – 1 ) 4 ]

= 25 [ 6 + 49.4 ]

= 25 ( 6 + 196 )

= 25 ( 202 )

= 5050

3. Tentukan Sn , dari deret aritmatika berikut :

1 + 5 + 9 + 13 + . . . + U10

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 1 , b = 4 , n = 10

Ditanya : Sn = . . . ?

Jawab :

Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]

S10 = 1/2.10 [ 2.1 + ( 10 – 1 ) 4 ]

= 5 [ 2 + 9.4 ]

= 5 ( 2 + 36 )

= 190

4. Diketahui suatu deret aritmatika suku ke5 = 13 dan suku ke 9 = 21 . Tentukan :

a.) nilai a dan b

b.) U10

c.) S11

Penyelesaian ;

a.) U5 = 13 —> a + 4b = 13

U9 = 21 —> a+ 8b = 21   _

-4 b = -8

b = 2

a + 4b = 13

a + 4.2 = 13

a + 8 = 13

a = 5

b.) U10 = a + 9b

U10 = 5 + 9 .2

u10 = 5 + 18   =  23

c.) Sn = 1/2n [ 2a + ( n – 1 ) b ]

S11  = 1/2 .11 [ 2.5 + ( 11 – 1 ) 2 ]

 S11 = 1/2 .11 [ 10 + 10.2 ]

S11 = 1/2.11 ( 30 )

S11 = 165

2. Deret Bilangan Geometri 

Deret bilangan geometri , yaitu jumlah dari barisan bilangan geometri .

Jika bentuk barisan bilangan geometri adalah  a , a.r , a.r² , a.r³ , a.r⁴ , a.r⁵  . . . . a.r^n-1 maka bentuk dari deret bilangan geometri adalah  a + a.r + a.r² + a.r³ + a.r⁴ + a.r⁵  . . . .a.r^n-1

Jumlah n suku pertama dari deret geometri atau yang dilambangkan dengan Sn , adalah :

Sn = a + a.r + a.r² + a.r³ + a.r⁴ + a.r⁵  . . . .a.r^n-1

Apabila rumus di atas kita kalikan dengan r . maka akan menghasilkan rums sebagai berikut :

rSn =   a.r + a.r² + a.r³ + a.r⁴ + a.r⁵  + a.r⁶. . . .a.r^n-1  + a.rⁿ

Dari kedua persamaan diatas , kita kurangkan maka akan dihasilkan sebagai beriikut :

Sn = a + a.r + a.r² + a.r³ + a.r⁴ + a.r⁵  . . . .a.r^n-1

rSn =   a.r + a.r² + a.r³ + a.r⁴ + a.r⁵  + a.r⁶. . . .a.r^n-1  + a.rⁿ

                                                                                                                                    _

Sn – rSn = a –  a.rⁿ

Sn ( 1 – r ) = a ( 1 – rⁿ )

Sn =  a – a rⁿ  / 1 – r

Sn = a ( 1 – rⁿ ) / ( 1 – r )

Jadi , dapat kita simpulkan bahwa , rumus jumlah n suku pertama dalam deret geometri adalah :

Sn = a – a rⁿ  / 1 – r atau Sn = a ( 1 – rⁿ) / 1 – r  , dengan r  ≠ 1

Untuk lebih jelasnya lagi , maka perhatikan contoh – contoh soal di bawah ini :

1. Diketahui sebuah deret geoetri , dimana U3 = 18 , dan U6 = 486 . Tentukan :

a.) a dan r

b.) S10

Penyelesaian :

a.) U6 = 486 –> a.r ⁵= 486

 U3      =     18  –>  a.r²  = 18

U6 / U3 = 486 / 18   —–>  a.r ⁵ /   a.r²  =  486 / 18

                                                     r³ = 27

                                                      r = 3

a.r²  = 18   

a.3²  = 18

a.9 = 18

a = 2

b.) Sn = a ( 1 – rⁿ ) / 1 – r

S10 = 2 ( 1 – 3¹⁰ ) / ( 1 – 3 )

S10 = 2 ( -59048  ) / ( -2 )

S10 = 59048

2. Perhatikan deret bilangan geometri berikut:

2 + 6 + 18 + 54 + . . . . .+ 1458 , tentukan Sn !

Penyelesaian :

Diketahui : a = 2 dan r = 3

Jawab :

Langkah pertama mencari n terlebih dahulu , yaitu dengan cara :

Un = a.r^n-1

1458  = 2 . 3^n-1

1458 /2 = 3^n-1

729 = 3^n-1

3⁶ = 3^n-1

n – 1 = 6

n = 7

Selanjutnya , tinggal masukkan ke dalam rumus :

Sn = a ( 1 – rⁿ ) / 1 – r

S7 = 2 ( 1- 3⁷ ) / 1- 3

S7 = 2 ( 1-2187 ) / -2

S7 = 2187

Demikia penjelasan mengenai Deret Aritmtika dan deret geometri . Inti dari deret adalah menjumlahkan semua barisan bilangan baik aritmatika atau geometri . Semoga dengan penjelasan di atas , dapat membantu menyelesaikan permasalahan dalam menyelesaikan soal yang berhubungan dengan deret bilangan .